Để giải được các dạng bài tập đạo hàm thì bạn cần nhớ các công thức đạo hàm 11 đã được học từ bài trước. Khi đã ghi nhớ chính xác thì chúng ta bắt đầu rèn luyện kĩ năng giải bài tập

Dạng 1: Tính đạo hàn bằng công thức tại một điểm

Bài 1. Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x}{x-2}$, đạo hàm của hàm số tại $x=1$ là:

A. $y’\left( 1 \right)=-4$.

B. $y’\left( 1 \right)=-3$.

C. $y’\left( 1 \right)=-2$.

D. $y’\left( 1 \right)=-5$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}+x}{x-2}$$=x+3+\frac{6}{x-2}$$\Rightarrow y’=1-\frac{6}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$$\Rightarrow y’\left( 1 \right)=1-6=-5$.

Bài 2. Cho hàm số $f\left( x \right)\,=\sqrt[3]{x}$. Giá trị ${{f}^{\prime }}\left( 8 \right)$bằng:

A. $\frac{1}{6}$.

B. $\frac{1}{12}$.

C. -$\frac{1}{6}$.

D. $-\frac{1}{12}$.

Lời giải

Với x>0

${{f}^{\prime }}\left( x \right)\,={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{x}^{\frac{-2}{3}}}\Rightarrow {{f}^{\prime }}\left( 8 \right)=\frac{1}{3}{{.8}^{\frac{-2}{3}}}=\frac{1}{3}{{2}^{-2}}=\frac{1}{12}$.

Bài 3. Cho $f\left( x \right)=\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{{{x}^{3}}}$. Tính $f’\left( -1 \right)$.

A. -14

B. 12

C. 13

D. 10

Lời giải

Chọn A

Bước đầu tiên tính đạo hàm sử dụng công thức ${{\left( \frac{1}{{{x}^{\alpha }}} \right)}^{/}}=\frac{-\alpha }{{{x}^{\alpha +1}}}$

$f’\left( x \right)={{\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{{{x}^{3}}} \right)}^{/}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{4}{{{x}^{3}}}-\frac{9}{{{x}^{4}}}$$\Rightarrow f’\left( 1 \right)=-1-4-9=-14$

Dạng 2: Tính đạo hàn bằng công thức

Bài 1. Đạo hàm của $y={{\left( {{x}^{5}}-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}$ là

A. ${y}’=10{{x}^{9}}-28{{x}^{6}}+16{{x}^{3}}.$

B. ${y}’=10{{x}^{9}}-14{{x}^{6}}+16{{x}^{3}}.$

C. ${y}’=10{{x}^{9}}+16{{x}^{3}}.$

D. ${y}’=7{{x}^{6}}-6{{x}^{3}}+16x.$

Lời giải

Đáp án A

$\begin{gathered} y’ = 2.\left( {{x^5} – 2{x^2}} \right){\left( {{x^5} – 2{x^2}} \right)^\prime } \hfill \\ = 2\left( {{x^5} – 2{x^2}} \right)\left( {5{x^4} – 4x} \right) \hfill \\ = 10{x^9} – 28{x^6} + 16{x^3} \hfill \\ \end{gathered} $

Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y=\frac{2x+1}{x+2}$

A. $-\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

B. $\frac{3}{\left( x+2 \right)}$

C. $\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

D. $\frac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $y’=\frac{(2x+1)'(x+2)-(x+2)'(2x+1)}{{{(x+2)}^{2}}}=\frac{3}{{{(x+2)}^{2}}}$

Bài 3. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+5}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{-2x-2}{{{({{x}^{2}}-2x+5)}^{2}}}.$ B. $\frac{-4x+4}{{{({{x}^{2}}-2x+5)}^{2}}}.$ C. $\frac{-2x+2}{{{({{x}^{2}}-2x+5)}^{2}}}.$ D. $\frac{2x+2}{{{({{x}^{2}}-2x+5)}^{2}}}.$

Lời giải

Chọn C

${y}’=\frac{-(2x-2)}{{{({{x}^{2}}-2x+5)}^{2}}}=\frac{-2x+2}{{{({{x}^{2}}-2x+5)}^{2}}}.$

Dạng 3: đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình

Bài 1. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2\sqrt{2}{{x}^{2}}+8x-1$. Tập hợp những giá trị của x để f’(x) = 0 là:

A. $\left\{ -2\sqrt{2} \right\}$.

B. $\left\{ 2;\sqrt{2} \right\}$.

C. $\left\{ -4\sqrt{2} \right\}$.

D. $\left\{ 2\sqrt{2} \right\}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có ${f}'(x)={{x}^{2}}-4\sqrt{2}x+8$

${f}'(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4\sqrt{2}x+8=0\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}$.

Bài 2. Cho hàm số $y=4x-\sqrt{x}$. Nghiệm của phương trình ${y}’=0$ là

A. $x=\frac{1}{8}.$

B. $x=\sqrt{\frac{1}{8}}.$

C. $x=\frac{1}{64}.$

D. $x=-\frac{1}{64}.$

Lời giải

Chọn C

${y}’=4-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\begin{gathered} y’ = 0 \Leftrightarrow 4 – \frac{1}{{2\sqrt x }} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 8\sqrt x – 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{{64}} \hfill \\ \end{gathered} $

Bài 3. Cho hàm số $y=-3{{x}^{3}}+25.$ Các nghiệm của phương trình ${y}’=0$ là.

A. $x=\pm \frac{5}{3}$.

B. $x=\pm \frac{3}{5}$.

C. $x=0$.

D. $x=\pm 5$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${y}’=-9{{x}^{2}}+25$

${y}’=0\Leftrightarrow -9{{x}^{2}}+25=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{5}{3}.$

Bài 4. Cho hàm số $y=3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1$. Để ${y}’\le 0$ thì $x$ nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây

A. $\left[ -\frac{2}{9};0 \right].$

B. $\left[ -\frac{9}{2};0 \right].$

C. $\left( -\infty ;-\frac{9}{2} \right]\cup \left[ 0;+\infty \right).$

D. $\left( -\infty ;-\frac{2}{9} \right]\cup \left[ 0;+\infty \right).$

Lời giải

Đáp án A

$\begin{gathered} y = 3{x^3} + {x^2} + 1 \Rightarrow y’ = 9{x^2} + 2x \hfill \\ y’ \leqslant 0 \Rightarrow – \frac{2}{9} \leqslant x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $

Bài 5. Cho hàm số $f(x)=2mx-m{{x}^{3}}$. Số $x=1$ là nghiệm của bất phương trình ${f}'(x)\le 1$ khi và chỉ khi:

A. $m\ge 1.$

B. $m\le -1.$

C. $-1\le m\le 1.$

D. $m\ge -1.$

Lời giải

Chọn D

Có $f(x)=2mx-m{{x}^{3}}$$\Rightarrow $${f}'(x)=2m-3m{{x}^{2}}.$Nên${f}'(1)\le 1$$\Leftrightarrow $$2m-3m\le 1$$\Leftrightarrow $$m\ge -1.$

Bài 6. Tìm $m$ để các hàm số $y=\frac{m{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}+(3m-1)x+1$ có $y’\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$.

A. $m\le \sqrt{2}$

B. $m\le 2$

C. $m\le 0$

D. $m<0$

Lời giải

Chọn C

Ta có: $y’=m{{x}^{2}}-2mx+3m-1$

Nên $y’\le 0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2mx+3m-1\le 0$ (2)

$\bullet $ $m=0$ thì (1) trở thành: $-1\le 0$ đúng với $\forall x\in \mathbb{R}$

$\bullet $ $m\ne 0$, khi đó (1) đúng với $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = m < 0 \hfill \\ \Delta ‘ \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m(1 – 2m) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ 1 – 2m \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy $m\le 0$ là những giá trị cần tìm.

Chủ đề chia sẻ các dạng bài tập đạo hàm lớp 11 đến đây tạm dừng, hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải bài tập đạo hàm tốt hơn. Chúc bạn học tốt!